ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಇಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ವಿಕ್ಷಿಸಿ

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ ಕೆಲವು ಆಯ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ [[ಸರಣಿ]] {{OEIS|id=A000142}}; ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.
|-
! ''n''
! ''n''!
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{gaps|5|040}}
|-
| 8 || {{gaps|40|320}}
|-
| 9 || {{gaps|362|880}}
|-
| 10 || {{gaps|3|628|800}}
|-
| 11 || {{gaps|39|916|800}}
|-
| 12 || {{gaps|479|001|600}}
|-
| 13 || {{gaps|6|227|020|800}}
|-
| 14 || {{gaps|87|178|291|200}}
|-
| 15 || {{gaps|1|307|674|368|000}}
|-
| 16 || {{gaps|20|922|789|888|000}}
|-
| 17 || {{gaps|355|687|428|096|000}}
|-
| 18 || {{gaps|6|402|373|705|728|000}}
|-
| 19 || {{gaps|121|645|100|408|832|000}}
|-
| 20 || {{gaps|2|432|902|008|176|640|000}}
|-
| 25 
| style="text-align:left" | {{val|1.551121004|e=25}}
|-
| 50 
| style="text-align:left" | {{val|3.041409320|e=64}}
|-
| 70 
| style="text-align:left" | {{val|1.197857167|e=100}}
|-
| 100 
| style="text-align:left" | {{val|9.332621544|e=157}}
|-
| 450 
| style="text-align:left" | {{val|1.733368733|e=1000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|1|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|4.023872601|e=2567|sortable=off}}
|-
| {{gaps|3|249}} 
| style="text-align:left" | {{val|6.412337688|e=10000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|10|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|2.846259681|e=35659|sortable=off}}
|-
| {{gaps|25|206}} 
| style="text-align:left" | {{val|1.205703438|e=100000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|100|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|2.824229408|e=456573|sortable=off}}
|-
| {{gaps|205|023}} 
| style="text-align:left" | {{val|2.503898932|e=1000004|sortable=off}}
|-
| {{gaps|1|000|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|8.263931688|e=5565708|sortable=off}}
|-
| [[googol|{{val|e=100}}]] || 10<sup>{{val|9.956570552|e=101|sortable=off}}</sup>
|}

[[ಗಣಿತ]]ದಲ್ಲಿ '''ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್''' ಎಂಬುದು ಸಾಧಾರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. '''n''' ಎಂಬ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅಥವಾ '''n!''' ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. 
:<math>n! = n  \times  n-1  \times  n-2  \times  2  \cdots 2 \times  1.  </math> 
ಅರ್ಥಾತ್, '''n''' ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಕೊನೆಗೆ ಅಂಕಿ ಒಂದರವರೆಗೆ ಬರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ '''5!''' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ. 
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120. </math> 
ಶೂನ್ಯದ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''[[Concrete Mathematics]]'', Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, p.&nbsp;111</ref>

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಣಿಕೆ (ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್), [[ಬೀಜಗಣಿತ]] ([[ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾ]]) ಮತ್ತು [[ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ]]. '''n''' ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ '''n!''' ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಡ್ಲಿ, ದೋಸೆ, ವಡೆ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ 6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). 6 = 3! ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು 2 ವಸ್ತುಗಳು. ಕೊನೆಗೆ ಉಳಿಯುವುದು ಒಂದೇ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ನಮಗೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 3, 2, 1. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು :<math> 3 \times 2 \times 1 = 6 </math>. ಇದನ್ನು ಕುರಿತು ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.<ref>N. L. Biggs, ''The roots of combinatorics'', Historia Math. 6 (1979) 109−136</ref>. '''n!''' ಎಂಬ ಗಣಿತ ಸಂಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದವನು [[ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಕ್ರಾಂಪ್]] ಎಂಬ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮೂಲದ ಗಣಿತಜ್ಞ. (1808)<ref>{{Citation |title=Number Story: From Counting to Cryptography |last=Higgins |first=Peter |year=2008 |publisher=Copernicus |location=New York |isbn=978-1-84800-000-1 |page=12 |pages= }} says Krempe though.</ref>
 
ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ -ವಡೆ 

ಇಡ್ಲಿ - ವಡೆ - ದೋಸೆ 

ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ -ವಡೆ 

ದೋಸೆ - ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ 

ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ 

ವಡೆ - ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ 

==ವ್ಯಾಖ್ಯೆ==
'''n!'' ಅಥವಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ '''n''' ಎಂಬುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
:<math>\begin{align}
n! & = \prod_{k=1}^n k \\
   & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \\
   & = n (n-1)(n-2) \cdots (2)(1) \\
\end{align}</math>

ಇಲ್ಲಿ {{math|''n'' ≥ 1}} ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು [[ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧ]] ಅಥವಾ ರಿಕರೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. 

:<math> (n+1)! = (n+1) \cdot n! </math>.

E.g.:
: <math>\begin{align}5! &= 5 \cdot 4! \\
 6! &=  6 \cdot  5! \\
50! &= 50 \cdot 49! \\
\end{align}</math>

===0!===

ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ಥಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಫ್ಯಾಕ್ತೋರಿಯಲ್ 0 = 0! = 1 ಎಂಬ 'ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯ. 

:<math>0! = 1 </math>

ಹೀಗಾಗಿ 

:<math>1! = 1 \cdot 0! = 1 \ .</math>

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ. 

ಹಾಗೆ, ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 
 
::<math>\tbinom{0}{0} = \tfrac{0!}{0!0!} = 1 </math>.

'''n''' ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ. 

::<math>\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1 </math>.

0! = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 
:: <math> e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

===ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ===

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. 

==ಉಪಯೋಗಗಳು==

* '''n''' ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು '''n!''' ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  <ref>{{Cite book|url=|title=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe|last=Cheng|first=Eugenia|date=2017-03-09|publisher=Profile Books|year=|isbn=9781782830818|location=|pages=|language=en|author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|url=|title=The Book of Numbers|last=Conway|first=John H.|last2=Guy|first2=Richard|date=1998-03-16|publisher=Springer Science & Business Media|year=|isbn=9780387979939|location=|pages=|language=en|author-link=John Horton Conway|author-link2=Richard K. Guy}}</ref>

* ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. '''n''' ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ '''k''' ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು '''n''' ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು '''n-1''' ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ '''k''' ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು '''n-k+1''' ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 

::<math>\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(1)}.</math>
:ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಕೋಯೆಫಿಶಿಯೆಂಟ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ <ref name=":1">{{Cite book|url=|title=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms|last=Knuth|first=Donald E.|date=1997-07-04|publisher=Addison-Wesley Professional|year=|isbn=9780321635747|location=|pages=|language=en|author-link=Donald Knuth}}</ref>  ಮತ್ತ್ತು  <math>\tbinom nk</math> ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. 

* [[ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್]]ವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  [[ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ]]ದಲ್ಲಿ,<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>.
* ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು  [[ಸಂಭವನೀಯತೆ]] ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.<ref>{{Cite book|url=|title=Statistical Physics of Particles|last=Kardar|first=Mehran|date=2007-06-25|publisher=Cambridge University Press|year=|isbn=9780521873420|location=|pages=|language=English|chapter=Chapter 2: Probability|author-link=Mehran Kardar}}</ref>
* ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.
::<math>\begin{align}
n! &= D^n(x^n) \\
   &= \frac{d^n}{dx^n}(x^n) \\
\end{align}</math>
:ಇಲ್ಲಿ  <math>D^nx^n</math> ಎಂಬುದು ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಶನ್ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math><ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>



==''n'' ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?==
[[File:Log-factorial.svg|upright=1.35|thumb|right|'ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿತಂನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ರೇಖೆ]]
''n'' ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್‍ಗಳ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಪೋನೆನ್ಶಿಯಲ್‍ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. 
''n!'' ಎಂಬುದನ್ನು  ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು ''n!'' ಎಂಬುದರ ನೈಜ ಲಾಗರಿತಂ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,
  
:<math>\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x.</math>

''ln n!'' ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ''ln n!'' ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

:<math> \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx</math>

:<math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1.</math>

:<math>e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.</math>

ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ 
 <math>(n/3)^n < n!</math> ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ ''n'' ≥ 6 ಆದಾಗ <math>n! < (n/2)^n</math> ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

[[File:Mplwp factorial gamma stirling.svg|thumb|right|upright=1.35|ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು]]
''n'' ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ  ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: 
:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಾಗರಿತಂ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 
ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:
:<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^\frac 1{12n}.</math>

[[ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜಂ]] ಅವರು ಕೂಡಾ ''n''! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ {{harv|Ramanujan|1988}}

:<math>\ln n! \approx n\ln n - n + \frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6} + \frac {\ln(\pi)}{2}</math>
ಅಥವಾ 
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[1 +1/(2n) +1/(8n^2)]^{1/6}.</math>
ಅಥವಾ 
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right)</math>